Собственные состояния гамильтониана

   Рассмотрим главные свойства собственных состояний оператора N и гамильтониана Н.

   Допустим, что операторы N и Н являются наблюдаемыми, т.е. система их собственных векторов образует базис в пространстве состояний частицы в одномерной задаче. Поскольку ни одно из собственных значений оператора N (или Н) не является вырожденным, то оператор N (или Н) сам по себе образует в пространстве полный набор коммутирующих операторов.

   1. Выражение базисных векторов через

   Вектор , связанный с собственным значением n = 0, является вектором пространства , удовлетворяющим условию:

.   (55)

Он определен с точностью до постоянного множителя. Допустим, что нормирован, в связи с чем остающаяся неопределенность связана с общим фазовым множителем вида , где - вещественное число.

   Согласно Лемме 3 вектор , соответствующий n = 1, пропорционален :

=.   (56)

Определим c₁, наложив на вектор условие нормировки и выбрав фазу вектора относительно фазы вектора так, чтобы c₁ было вещественным положительным числом. Согласно (56) квадрат нормы вектора равен:

,   (57)

где было использовано равенство (20). Поскольку – нормированное собственное состояние оператора N = a⁺ a с нулевым собственным значением, то

.   (58)

С учетом сделанного выбора фазы имеем c₁ = 1 и, следовательно:

=.   (59)

   Аналогично можно построить вектор из вектора :

=.   (60)

Потребуем, чтобы вектор был нормирован, и выберем его фазу так, чтобы c₂ было вещественным положительным числом:

.   (61)

Таким образом:

==   (62)

c учетом формулы (59).

   Описанная процедура без труда обобщается. Если известен нормированный вектор , то нормированный вектор имеет вид:

=.   (63)

Поскольку:

,   (64)

то с учетом тех же условий для фазы, что и ранее, получим:

.   (65)

   При последовательных выборах фазы можно выразить все векторы через вектор :

   (66)

или

=.   (67)