Гармонический осциллятор в квантовой механике |
Введение Важность гармонического осциллятора в физике Общие свойства квантового гамильтониана Собственные значения гамильтониана Обозначения Операторы Операторы a, a+ и N Определение спектра Леммы Спектр оператора N состоит из неотрицательных чисел Интерпретация операторов a, a+ Вырождение собственных значений Основной уровень не вырожден Все уровни не вырождены Собственные состояния гамильтониана Представление Выражение базисных векторов Соотношения ортонормировки и замкнутости Действие различных операторов Волновые функции стационарных состояний Физическое обсуждение Средние значения и среднеквадратичные отклонения операторов X и P в состоянии Свойства основного состояния Эволюция средних значений во времени |
Собственные состояния гамильтонианаРассмотрим главные свойства собственных состояний оператора N и гамильтониана Н. Представление ![]() Допустим, что операторы N и Н являются наблюдаемыми, т.е. система
их собственных векторов образует базис в пространстве состояний 1. Выражение базисных векторов через Вектор
Он определен с точностью до постоянного множителя. Допустим, что Согласно Лемме 3 вектор
Определим c1, наложив на вектор
где было использовано равенство (20). Поскольку
С учетом сделанного выбора фазы имеем c1 = 1 и, следовательно:
Аналогично можно построить вектор
Потребуем, чтобы вектор
Таким образом:
c учетом формулы (59). Описанная процедура без труда обобщается. Если известен нормированный вектор
Поскольку:
то с учетом тех же условий для фазы, что и ранее, получим:
При последовательных выборах фазы можно выразить все векторы
или
|
|
|